Estamos en el siglo V antes de Cristo. Bueno, ahora no, me refiero que la historia que voy a contar ahora sucedió en esa época.
Centrémonos.
Siglo V a. C, antigua Grecia. Allí tenían una gran influencia los pitagóricos. Sí, esa secta matemática y filosófica. Ellos creían que todo (y cuando digo todo, me refiero a TODO) podía ser explicado a través de los números. Pero claro, no les valía cualquier número, ellos sólo aceptaban los números naturales, es decir, 1, 2, 3… y también, las fracciones que podían usarse con estos números (1/7, 3/5, 3/7,…)
Hasta que llegó uno de los pitagóricos, y un buen día por la mañana decidió intentar resolver el siguiente problema: ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado 1?
Hoy en día es sencillo, seguro que ya tenéis la solución en mente. Pero claro en aquella época fue un problema que muchos intentaron sin éxito. Hasta que llegó Hipaso de Metaponto, nuestro “protagonista” de hoy, y se puso manos a la obra. Se dio cuenta que la diagonal de dicho cuadrado (o la hipotenusa del triángulo inferior) tenía que ser algo más grande que , pero más pequeño que . Evidentemente, no podía ser un número natural, así que tendría que ser racional, y se propuso encontrarlo. ¿Cómo? ¡Acotando!
La medida de la diagonal (vamos a llamarla d a partir de ahora) tendría que ser algo menor que 8/5, mayor que 7/5, menor que 3/2… pero nada, que por más que lo intentaba, no salía… lo que le llevó a preguntarse:
¿Y si existen números que no pueden ser representados como fracciones? ¿Existen números que no son racionales? ¿Será d uno de esos números?
Y no solo se hizo esas preguntas, sino que consiguió las respuestas: había demostrado la inconmensurabilidad de los números irracionales.
Warning! ¡Palabra rara! Da miedo, pero es más difícil de escribir que de explicar. Sólo significa que los números irracionales no pueden ser expresados como la razón de dos números.
Pero hay un problema, ya que este tipo de números no “existían” para los pitagóricos… e Hipaso acababa de demostrar lo contrario, y se puso tan contento tan contento, y los pitagóricos tan nerviosos, tan nerviosos, que cogieron a Hipaso entre dos y lo tiraron por un acantilado.
Acababan de nacer los números irracionales. Bueno, y acababa de morir un señor griego.
Aunque esta historia podría marcar el inicio de un nuevo tipo de números, en realidad ya se venían usando desde hacía algunos años.
El número π (Pi) por ejemplo, es probablemente el número irracional más conocido. Y más querido por físicos y matemáticos. Eterno e infinito π. Básicamente es la relación entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma.
¿Qué decir de π que no sepáis ya?
También hay otros números tan importantes (¡O más!)
El número e, por ejemplo. ¿Cómo podemos entenderlo fácilmente sin hablar de logaritmos neperianos?
Supongamos que pretendes ahorrar dinero. Concretamente 1€. Vale, no cuesta mucho, pero esto es un ejemplo para que podamos entenderlo sin muchos problemas. La idea es la siguiente:
1) Ingresas 1€ en tu banco.
2) Tu banco te ofrece darte un 100% de interés anual. (Si alguien conoce algún banco con este interés, que me avise).
3) Al año, vas a comprobar cómo ha crecido tu dinero.
Bien, es sencillo. Al final del año tendrás 2€. El euro que ingresaste más el euro que ha generado tu interés anual.
Bueno, has perdido un año de tiempo y sólo has ganado un euro. No es para tirar cohetes. ¿Podemos mejorarlo?
Imagina ahora que negocias con tu banco y acuerdas con él que te dé un 50% del interés en el sexto mes, a mitad del año y el otro 50% a final del año.
Haciéndolo de esta forma, tendrás 1€ hasta el sexto mes, de repente, pasarás a tener 1.50€, y al final de mes vuelve a aumentar otro 50%, es decir, 1.50 + 0.75, por lo que tendrías al final 2.25€. Hemos mejorado.
¿Y si divido el 100% del interés entre los 12 meses y pido ese porcentaje cada mes? Pues en diciembre tendrás 2.61€. Hemos mejorado de nuevo, pero esto no parece que vaya muy rápido. ¿Podemos hacer esto hasta ser ricos, o existe algún límite máximo?
Pues efectivamente, existe un límite, y ese límite es nuestro número e. Bernoulli ya se dio cuenta de esto (y lo estudió) en 1683.
Y, por último, no podemos irnos sin hablar sobre el número de oro, número áureo, divina proporción, razón aurea…
¿Esto qué es? Coge un trozo de cuerda y córtalo. No por la mitad, córtalo para que haya un lado mayor que el otro. Si lacuerda mide L y la cortamos en dos trozos que midan A y B, está claro que A+B=L.
Pues el número áureo surge si, al dividir el segmento en dos, la longitud total L=A+B es al segmento más largo A, como A es al segmento más corto B. Puede parecer rebuscado, pero si coges una tarjeta de crédito o el mismo DNI, sus lados siguen esta proporción.
Y esto ha sido todo, una pequeña introducción al mundo de los números irracionales que tanto traían de cabeza a los pitagóricos… alguno hasta cayó de cabeza también…
Escrito por Pedro Daniel Pajares, joven e inminente matemático.